Muchas veces la aplicabilidad de las matemáticas al mundo real no es evidente. Cuando estudiaba en el colegio no terminaba de ver para qué podían servir las derivadas hasta que me topé con este ejercicio:
Supongamos que somos fabricantes de botes de conservas. Nuestro recipiente ha de tener un determiando Volumen (V) y no queremos emplear más metal de la cuenta. Es decir, la Superficie (S) del bote tiene que ser la mínima posible.
[Latas en el supermercado. Foto de:noodlepie]
Teniendo en cuenta las variables [ Volumen (V), Superficie (S), altura (h) ]. Aquí van las fórmulas del Volumen del bote:
 =\pi*r^{2}*h} "{\color{yellow} Volumen (V) =\pi*r^{2}*h}")
Y de la Superficie del bote:
 =2*\pi*r*h + 2*\pi*r^{2}} "{\color{yellow} Superficie (S) =2*\pi*r*h + 2*\pi*r^{2}}")
Si despejamos de la primera fórmula la altura, nos queda:
 =\frac{V}{\pi*r^{2}}} "{\color{yellow} altura(h) =\frac{V}{\pi*r^{2}}}")
Si sustituimos la altura en la fórmula de la superficie:
 =\frac{V*2*\pi*r}{\pi*r^{2}}+2*\pi*r^{2}} "{\color{yellow} Superfie(S) =\frac{V*2*\pi*r}{\pi*r^{2}}+2*\pi*r^{2}}")
Simplificando la ecuación:
 =\frac{2*V}{r}+2*\pi*r^{2}} "{\color{yellow} Superfie(S) =\frac{2*V}{r}+2*\pi*r^{2}}")
Ahora tenemos la función superficie que depende del radio. Si derivamos la función superficie respecto a la variable radio nos queda:
 =-\frac{2*V}{r^{2}}+4*\pi*r} "{\color{yellow} \frac{\partial }{\partial r}Superfie(S) =-\frac{2*V}{r^{2}}+4*\pi*r}")
Como la derivada es la pendiente de la recta tangente a la ecuación Superficie, si la igualamos a cero, encontraremos los puntos r donde la ecuación Superficie tiene pendiente cero (esto se debe a la existencia de un máximo o mínimo). Estudiando el signo de la función derivada antes y despues del cero podremos determinar si es máximo o mínimo.
[Azul - Superficie, Rojo - Derivada Superficie.Enlace a gráfica]
En la gráfica de arriba se representa la función Superficie (azul) y su derivada (rojo) para Volumen=1. El eje de las x corresponde al radio. Como se puede observar el radio donde derivada=0 es un mínimo de la función superficie. Para radios menores la pendiente (función derivada) es negativa y para radios superiores positiva.
Este radio, que hace que la función superficie sea mínima, es:
 =\sqrt[3]{\frac{Volumen (V)}{2*\pi}}} "{\color{yellow} r(radio) =\sqrt[3]{\frac{Volumen (V)}{2*\pi}}}")
La altura, la sacaríamos de la fórmula previamente calculada:
 =\frac{Volumen(V)}{\pi*r^{2}}} "{\color{yellow} altura(h) =\frac{Volumen(V)}{\pi*r^{2}}}")
Si operamos con estas dos fórmulas, podemos tener el ralación entre la altura y el radio para que la Superficie del bote sea mínima. Esta relación es:
 = 2*radio (r)} "{\color{yellow} altura(h) = 2*radio (r)}")
Esta teoría está muy bien, pero he probado en unos cuantos botes... de refresco, de conserva, tomate frito, ... y nada, no encuentro esta relación por ningún sitio. ¿Por qué los botes no se diseñan para utilizar el mínimo metal?.
Hasta otro día,
[@]Editor online de fórmulas
[@]Representación gráfica de ecuaciones online
Supongamos que somos fabricantes de botes de conservas. Nuestro recipiente ha de tener un determiando Volumen (V) y no queremos emplear más metal de la cuenta. Es decir, la Superficie (S) del bote tiene que ser la mínima posible.
[Latas en el supermercado. Foto de:noodlepie]Teniendo en cuenta las variables [ Volumen (V), Superficie (S), altura (h) ]. Aquí van las fórmulas del Volumen del bote:
Y de la Superficie del bote:
Si despejamos de la primera fórmula la altura, nos queda:
Si sustituimos la altura en la fórmula de la superficie:
Simplificando la ecuación:
Ahora tenemos la función superficie que depende del radio. Si derivamos la función superficie respecto a la variable radio nos queda:
Como la derivada es la pendiente de la recta tangente a la ecuación Superficie, si la igualamos a cero, encontraremos los puntos r donde la ecuación Superficie tiene pendiente cero (esto se debe a la existencia de un máximo o mínimo). Estudiando el signo de la función derivada antes y despues del cero podremos determinar si es máximo o mínimo.
[Azul - Superficie, Rojo - Derivada Superficie.Enlace a gráfica]En la gráfica de arriba se representa la función Superficie (azul) y su derivada (rojo) para Volumen=1. El eje de las x corresponde al radio. Como se puede observar el radio donde derivada=0 es un mínimo de la función superficie. Para radios menores la pendiente (función derivada) es negativa y para radios superiores positiva.
Este radio, que hace que la función superficie sea mínima, es:
La altura, la sacaríamos de la fórmula previamente calculada:
Si operamos con estas dos fórmulas, podemos tener el ralación entre la altura y el radio para que la Superficie del bote sea mínima. Esta relación es:
Esta teoría está muy bien, pero he probado en unos cuantos botes... de refresco, de conserva, tomate frito, ... y nada, no encuentro esta relación por ningún sitio. ¿Por qué los botes no se diseñan para utilizar el mínimo metal?.
Hasta otro día,
[@]Editor online de fórmulas
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