domingo, 22 de febrero de 2009

Matemáticas y realidad

Muchas veces la aplicabilidad de las matemáticas al mundo real no es evidente. Cuando estudiaba en el colegio no terminaba de ver para qué podían servir las derivadas hasta que me topé con este ejercicio:

Supongamos que somos fabricantes de botes de conservas. Nuestro recipiente ha de tener un determiando Volumen (V) y no queremos emplear más metal de la cuenta. Es decir, la Superficie (S) del bote tiene que ser la mínima posible.

[Latas en el supermercado. Foto de:noodlepie]

Teniendo en cuenta las variables [ Volumen (V), Superficie (S), altura (h) ]. Aquí van las fórmulas del Volumen del bote:


Y de la Superficie del bote:



Si despejamos de la primera fórmula la altura, nos queda:


Si sustituimos la altura en la fórmula de la superficie:


Simplificando la ecuación:


Ahora tenemos la función superficie que depende del radio. Si derivamos la función superficie respecto a la variable radio nos queda:


Como la derivada es la pendiente de la recta tangente a la ecuación Superficie, si la igualamos a cero, encontraremos los puntos r donde la ecuación Superficie tiene pendiente cero (esto se debe a la existencia de un máximo o mínimo). Estudiando el signo de la función derivada antes y despues del cero podremos determinar si es máximo o mínimo.

[Azul - Superficie, Rojo - Derivada Superficie.Enlace a gráfica]

En la gráfica de arriba se representa la función Superficie (azul) y su derivada (rojo) para Volumen=1. El eje de las x corresponde al radio. Como se puede observar el radio donde derivada=0 es un mínimo de la función superficie. Para radios menores la pendiente (función derivada) es negativa y para radios superiores positiva.

Este radio, que hace que la función superficie sea mínima, es:



La altura, la sacaríamos de la fórmula previamente calculada:



Si operamos con estas dos fórmulas, podemos tener el ralación entre la altura y el radio para que la Superficie del bote sea mínima. Esta relación es:



Esta teoría está muy bien, pero he probado en unos cuantos botes... de refresco, de conserva, tomate frito, ... y nada, no encuentro esta relación por ningún sitio. ¿Por qué los botes no se diseñan para utilizar el mínimo metal?.

Hasta otro día,

[@]Editor online de fórmulas
[@]Representación gráfica de ecuaciones online

viernes, 6 de febrero de 2009

El cuento de los monos (La tradición es incompatible con la innovación)

Imaginemos que nos encontramos analizando el funcionamiento interno o los procesos de una empresa que desconocemos. Para ello mantenemos entrevistas con responsables de área de la misma. Es posible que nos encontremos con algún modo de funcionanmiento algo extraño o inconsistente y que al preguntar "por qué" está planteado de esa forma, nos encontremos con la respuesta "Porque siempre se ha hecho así". ¿Es esta una justificación de peso?. Dímelo despues de leer la historia que viene a continuación:

[Haciendo el mono.Foto de: Practicalowl]

"Un grupo de científicos encerró a cinco monos en una jaula, en cuyo centro colocaron una escalera y, sobre ella, un montón de plátanos.

Cuando uno de los monos subía la escalera para coger los plátanos los científicos lanzaban un chorro de agua fría sobre los que se quedaban en el suelo.

Pasado algún tiempo, los monos aprendieron la relación entre la escalera y el agua, de modo que cuando un mono iba a subir la escalera, los otros le pegaban una paliza para disuadirlo.

Después de haberse repetido varias veces la experiencia, ningún mono osaba subir la escalera, a pesar de la tentación de los plátanos.

Entonces, los científicos sustituyeron a uno de los monos por otro nuevo.

Lo primero que hizo el mono novato nada más ver los plátanos fue subir la escalera. Los otros, rápidamente, le bajaron y le pegaron antes de que saliera el agua fría sobre ellos.

Después de algunas palizas, el nuevo integrante del grupo nunca más subió por la escalera.Un segundo mono fue sustituido, y ocurrió lo mismo con el que entró en su lugar.

El primer sustituido participó con especial entusiasmo en la paliza al nuevo.

Un tercero fue cambiado, y se repitió el suceso.

El cuarto, y finalmente el quinto de los monos originales fueron sustituidos también por otros nuevos.

Los científicos se quedaron con un grupo de cinco monos que, a pesar de no haber recibido nunca una ducha de agua fría, continuaban golpeando a aquél que intentaba llegar hasta los plátanos.

Si fuera posible preguntar a alguno de ellos por qué pegaban con tanto ímpetu al que subía a por los plátanos, con certeza ésta sería la respuesta: «No lo sé. Aquí, las cosas siempre se han hecho así»."


"Si haces lo que siempre has hecho nunca llegarás más allá de donde siempre has llegado. (Anónimo)".

Creo que es sufientemente ilustrativo. ¿No te parece?.

Hasta otro día!